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<!DOCTYPE html>

<title>Trapezregel</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Trapezregel</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Die Trapezregel beschreibt ein <a href="Mathematik" title="Mathematik">mathematisches</a> Verfahren zur <a href="Numerische_Mathematik" title="Numerische Mathematik">numerischen</a> Annäherung des <a href="Integralrechnung" title="Integralrechnung">Integrals</a> einer <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}" loading="lazy"> im <a href="Intervall_(Mathematik)" title="Intervall (Mathematik)">Intervall</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}" loading="lazy"> (<a href="Numerische_Integration" title="Numerische Integration">Numerische Integration</a>).

Dazu ersetzt man die Fläche unter der Kurve <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2311a6a75c54b0ea085a381ba472c31d59321514.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.672ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=f(x)}" loading="lazy"> im gegebenen Intervall durch ein <a href="Trapez_(Geometrie)" title="Trapez (Geometrie)">Trapez</a> oder mehrere gleich breite Trapeze.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten zur Bestimmung dieser Trapeze:

Man kann die Kurve zum Beispiel näherungsweise durch eine Sehne zwischen den Funktionswerten an den Stellen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> ersetzen. Dies führt zur Sehnentrapezformel.

Man kann aber auch in der Mitte des Intervalls die <a href="Tangente" title="Tangente">Tangente</a> an die Funktion legen und erhält dann die Tangententrapezformel oder Mittelpunktsregel.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiel">Beispiel</h2></div>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J(f)=\int _{0}^{2}3^{3x-1}\,\mathrm {d} x={\frac {3^{3x-2}}{\ln(3)}}{\Big |}_{0}^{2}={\frac {728}{9\ln(3)}}=73{,}6282396649\dots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4549b48f41d9513743780a304c784c0f921f7e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:61.923ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle J(f)=\int _{0}^{2}3^{3x-1}\,\mathrm {d} x={\frac {3^{3x-2}}{\ln(3)}}{\Big |}_{0}^{2}={\frac {728}{9\ln(3)}}=73{,}6282396649\dots }" loading="lazy"></dd></dl>

Mit Hilfe der im Folgenden erklärten Trapezformeln soll dieses bestimmte Integral näherungsweise berechnet werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Sehnentrapezformel">Sehnentrapezformel</h2></div>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=T(f)+E(f).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05c1e561fb3843cf9beac229d6f2000cfe5c4423.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:35.047ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle J(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=T(f)+E(f).}" loading="lazy"></dd></dl>

Das Trapez wird gebildet aus der Grundlinie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}" loading="lazy"> (dem Intervall auf der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">-Achse), den senkrechten Geraden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,f(a)]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,f(a)]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b73d305d246c7a702b1259baa067ee368f14871.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.875ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,f(a)]}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [b,f(b)]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [b,f(b)]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da26a859be5cc797499c0a337333ee7221bb463f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.411ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [b,f(b)]}" loading="lazy"> sowie der Sehne als <a href="Verbindungsgerade" title="Verbindungsgerade">Verbindungsgerade</a> zwischen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(a)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/368cb4b81ba5754d7a354a4ce49c2f1084bdaace.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.318ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(a)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(b)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(b)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/adbef9aaf500c30a3f107e5d7efb7a8627d3bba9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.085ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(b)}" loading="lazy">. Diese Sehne ersetzt die Kurve <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x),x\in [a,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x),x\in [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/82c46c881cf63792ec80cd8806e144acd3371875.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.177ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x),x\in [a,b]}" loading="lazy">.

Die Sehnentrapezformel ergibt sich aus dem Flächeninhalt des beschriebenen Trapezes:

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(f)=(b-a)\cdot f(a)+{\frac {1}{2}}(b-a)\cdot (f(b)-f(a))=(b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1529b01e73dd7720a3cf9ab03f629ebeb0450c57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:69.846ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle T(f)=(b-a)\cdot f(a)+{\frac {1}{2}}(b-a)\cdot (f(b)-f(a))=(b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Diese Formel – und auch die folgenden – kann man herleiten aus der „Allgemeinen Quadraturformel für eine Teilfläche“.

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> zweimal stetig differenzierbar in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}" loading="lazy">, dann gilt für das Restglied <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(f)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(f)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d733654dab86d76c9ed9ba7f4473250dfea33d3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.864ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E(f)}" loading="lazy"> folgende Abschätzung:

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|E(f)\right|\leq {\frac {(b-a)^{3}}{12}}\max _{a\leq x\leq b}\left|f''(x)\right|.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12d3eedc9c774a9c0a2f64cb2e40a04dac5fe725.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:31.794ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \left|E(f)\right|\leq {\frac {(b-a)^{3}}{12}}\max _{a\leq x\leq b}\left|f''(x)\right|.}" loading="lazy"></dd></dl>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> zusätzlich noch reellwertig, dann gilt mit einer Zwischenstelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta \in [a,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta \in [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a5c0a05612861d93df303c63f237b4b0220ccf48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.491ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \zeta \in [a,b]}" loading="lazy">

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(f)=-{\frac {(b-a)^{3}}{12}}f''(\zeta ).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aa934ebd400240a1bafb7e07955fd70c5d899b76.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:24.546ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle E(f)=-{\frac {(b-a)^{3}}{12}}f''(\zeta ).}" loading="lazy"></dd></dl>

Das <a href="Vorzeichen_(Zahl)" title="Vorzeichen (Zahl)">Vorzeichen</a> in dieser Formel kann man sich wie folgt geometrisch plausibel machen:

Falls die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}" loading="lazy">, wie in der obigen Abbildung des Sehnentrapezes, <a href="Konvexe_und_konkave_Funktionen" title="Konvexe und konkave Funktionen">streng konkav</a> ist, gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''(x)<0}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x)<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d1afc130bd9e57a213dbbd456b8ac44cc2b80f03.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.858ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f''(x)<0}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in [a,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.725ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\in [a,b]}" loading="lazy"> und daher auch für die Zwischenstelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta \in [a,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta \in [a,b]}</annotation>

</semantics>

Somit folgt, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(f)=J(f)-T(f)>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(f)=J(f)-T(f)>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92cec41a811b6a58d6de71f168cd5ecefe9c0217.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.347ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E(f)=J(f)-T(f)>0}" loading="lazy">, d. h. die gesuchte Fläche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J(f)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J(f)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d51e47d428e64ccf55397b2bcdd01decd659c695.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.559ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle J(f)}" loading="lazy"> ist größer als die Trapezfläche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T(f)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(f)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e113e75482e50cdccb6a306827ce5bcac12b0ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.724ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T(f)}" loading="lazy">, wie auch die Abbildung zeigt.

Die Abhängigkeit des Fehlers von der 2. Ableitung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation>

</semantics>

Angewandt auf obiges Beispiel:

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(f)=(2-0){\frac {f(0)+f(2)}{2}}={\frac {730}{3}}=243{,}{\bar {3}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c53035ac829bf7c31a67761d5f4fac49b2bbe2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:43.438ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle T(f)=(2-0){\frac {f(0)+f(2)}{2}}={\frac {730}{3}}=243{,}{\bar {3}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Wegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''(x)=3^{3x+1}\cdot \ln(3)^{2}>0}">

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x)=3^{3x+1}\cdot \ln(3)^{2}>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/69a370a268d1c8e43298c5d392eca7c53e750685.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.858ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f''(x)=3^{3x+1}\cdot \ln(3)^{2}>0}" loading="lazy"> folgt aus obiger Formel, dass die gesuchte Fläche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J(f)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J(f)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d51e47d428e64ccf55397b2bcdd01decd659c695.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.559ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle J(f)}" loading="lazy"> kleiner ist als die Trapezfläche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T(f)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(f)}</annotation>

</semantics>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zusammengesetzte_Sehnentrapezformel">Zusammengesetzte Sehnentrapezformel</h3></div>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=T^{(n)}(f)+E^{(n)}(f).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4f1dbc372014d91c3679b5f0ec58366c7185fb97.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:40.144ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle J(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=T^{(n)}(f)+E^{(n)}(f).}" loading="lazy"></dd></dl>

Um das Integral noch besser annähern zu können, unterteilt man das Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> nebeneinanderliegende gleich große Teilintervalle der Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h={\tfrac {b-a}{n}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h={\tfrac {b-a}{n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bcfd2767a84c86fff60f1d0e8837839a10b32bd9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.127ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle h={\tfrac {b-a}{n}}}" loading="lazy">. In jedem Teilintervall wendet man die Sehnentrapezformel für die einzelnen Teilflächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Damit erhält man die summierte (bzw. zusammengesetzte) Sehnentrapezformel:

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{(n)}(f)=h\left({\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\sum _{i=1}^{n-1}f(a+ih)\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45149dc53df9db5f77de2ad103ee569c8e5e2245.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:46.934ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle T^{(n)}(f)=h\left({\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\sum _{i=1}^{n-1}f(a+ih)\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

mit

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4cc91991ecc48ff4d287dfca7d0f6cd9dabca283.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.988ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Dabei werden die Funktionswerte an den <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fbd0b0f32b28f51962943ee9ede4fb34198a2521.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n-1}" loading="lazy"> Stützstellen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+ih}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+ih}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5713bae4e156f805fb3d9d4a002f80c4a40bddda.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.212ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a+ih}" loading="lazy"> mit der vollen Breite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> der Teilintervalle und an den Intervallrändern mit der halben Breite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h/2}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h/2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fac4e3b62775476fc9d9eab607fc71093d6f7328.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.664ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h/2}" loading="lazy"> multipliziert.

Angewandt auf obiges Beispiel:

Sei die Schrittweite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h={\tfrac {1}{3}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h={\tfrac {1}{3}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75ae41ada01092679c2791cd1ea0fef0d7141e90.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:6.096ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle h={\tfrac {1}{3}}}" loading="lazy"> und damit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=6}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=6}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0365f0b9f2721ed3ebb488a96d7348d978acf8f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=6}" loading="lazy">. Dann ist

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}T^{(6)}(f)&={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{2}}f(0)+f\left({\frac {1}{3}}\right)+f\left({\frac {2}{3}}\right)+f(1)+f\left({\frac {4}{3}}\right)+f\left({\frac {5}{3}}\right)+{\frac {1}{2}}f(2)\right)\\&={\frac {728}{9}}=80{,}{\bar {8}}.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/62966ef1cace64368a1eda2f20682afe0425955b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.171ex; width:78.931ex; height:11.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}T^{(6)}(f)&={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{2}}f(0)+f\left({\frac {1}{3}}\right)+f\left({\frac {2}{3}}\right)+f(1)+f\left({\frac {4}{3}}\right)+f\left({\frac {5}{3}}\right)+{\frac {1}{2}}f(2)\right)\\&={\frac {728}{9}}=80{,}{\bar {8}}.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Sei die Schrittweite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h={\tfrac {1}{6}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h={\tfrac {1}{6}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0b97a54827f073be76dd5dc86e0762072addfe6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:6.096ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle h={\tfrac {1}{6}}}" loading="lazy"> und damit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=12}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=12}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38fb7dfd38b5db65d78bb6f2c1bf9e6e6cd07c14.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.818ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=12}" loading="lazy">. Dann ist

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}T^{(12)}(f)&={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{2}}f(0)+f\left({\frac {1}{6}}\right)+f\left({\frac {2}{6}}\right)+f\left({\frac {3}{6}}\right)+...+f\left({\frac {10}{6}}\right)+f\left({\frac {11}{6}}\right)+{\frac {1}{2}}f(2)\right)\\&={\frac {T^{(6)}(f)}{2}}+{\frac {1}{6}}\cdot \left(f\left({\frac {1}{6}}\right)+f\left({\frac {3}{6}}\right)+f\left({\frac {5}{6}}\right)+f\left({\frac {7}{6}}\right)+f\left({\frac {9}{6}}\right)+f\left({\frac {11}{6}}\right)\right)\\&={\frac {728+364{\sqrt {3}}}{18}}=75{,}4703608\dotso \end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bbc651fa78016545ef28cb6485767c98e1f0438.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -8.838ex; width:89.177ex; height:18.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}T^{(12)}(f)&={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{2}}f(0)+f\left({\frac {1}{6}}\right)+f\left({\frac {2}{6}}\right)+f\left({\frac {3}{6}}\right)+...+f\left({\frac {10}{6}}\right)+f\left({\frac {11}{6}}\right)+{\frac {1}{2}}f(2)\right)\\&={\frac {T^{(6)}(f)}{2}}+{\frac {1}{6}}\cdot \left(f\left({\frac {1}{6}}\right)+f\left({\frac {3}{6}}\right)+f\left({\frac {5}{6}}\right)+f\left({\frac {7}{6}}\right)+f\left({\frac {9}{6}}\right)+f\left({\frac {11}{6}}\right)\right)\\&={\frac {728+364{\sqrt {3}}}{18}}=75{,}4703608\dotso \end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Man sieht hier den Vorteil der Sehnentrapezregel: Verdoppelt man die Anzahl der Intervalle, so kann auf die vorangegangene Rechnung zurückgegriffen werden. Das ist bei der Tangententrapezregel (s. u.) nicht der Fall. Das ist einer der Gründe, warum die <a href="Romberg-Integration" title="Romberg-Integration">Romberg-Integration</a> auf der Sehnentrapezregel als Basis aufbaut.

Die allgemeine Formel lautet:

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{(2n)}(f)={\frac {T^{(n)}(f)}{2}}+{\frac {h}{2}}\cdot \sum _{i=1}^{n}f\left(a\ -{\frac {h}{2}}+i\cdot h\right).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70bd412ddb1c8580dd5990aa9c9416eaad01f38c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:49.412ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle T^{(2n)}(f)={\frac {T^{(n)}(f)}{2}}+{\frac {h}{2}}\cdot \sum _{i=1}^{n}f\left(a\ -{\frac {h}{2}}+i\cdot h\right).}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Fehlerabschätzung">Fehlerabschätzung</h4></div>

Die Fehlerabschätzung für das Restglied lautet

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|E^{(n)}(f)\right|\leq {\frac {(b-a)}{12}}h^{2}\max _{a\leq x\leq b}\left|f''(x)\right|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3eca17b4c64b500c91dfb68e057cc50bf2e5d58d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:34.615ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left|E^{(n)}(f)\right|\leq {\frac {(b-a)}{12}}h^{2}\max _{a\leq x\leq b}\left|f''(x)\right|}" loading="lazy"></dd></dl>

bzw. für reellwertige Funktionen mit einer Zwischenstelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5c3916703cae7938143d38865f78f27faadd4ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.095ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \zeta }" loading="lazy"> aus dem Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation>

</semantics>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{(n)}(f)=-{\frac {(b-a)}{12}}h^{2}f''(\zeta ).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/908635256cc080839950f77904d0d958e621ceaa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:28.401ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle E^{(n)}(f)=-{\frac {(b-a)}{12}}h^{2}f''(\zeta ).}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Faktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ee96b2a49abab22ea200cc66ab956379d0c4773.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.393ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle h^{2}}" loading="lazy"> in obiger Formel bedeutet, dass bei einer Halbierung der Schrittweite (Verdoppelung der Intervalle), wie es beim <a href="Romberg-Verfahren" class="mw-redirect" title="Romberg-Verfahren">Romberg-Verfahren</a> mit der Romberg-Folge der Fall ist, der Fehler in etwa um den Faktor 4 kleiner wird, wie auch nachfolgendes Beispiel zeigt:

Angewandt auf obiges Beispiel:

Mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''(x)=3^{3x+1}\cdot \ln(3)^{2}}">

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x)=3^{3x+1}\cdot \ln(3)^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/479d4a9db6351a7761892c9988f17d77542ca33c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.597ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f''(x)=3^{3x+1}\cdot \ln(3)^{2}}" loading="lazy"> folgt

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \max _{0\leq x\leq 2}\left|f''(x)\right|=3^{3\cdot 2+1}\cdot \ln(3)^{2}=3^{7}\cdot (\ln(3))^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ec8186c0c19db3cd377d8d7f7236e6b5e5e765d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:43.527ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle \max _{0\leq x\leq 2}\left|f''(x)\right|=3^{3\cdot 2+1}\cdot \ln(3)^{2}=3^{7}\cdot (\ln(3))^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

und somit die Fehlerabschätzung

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|E^{(6)}(f)\right|\leq {\frac {2}{12}}\cdot \left({\frac {1}{3}}\right)^{2}\cdot 3^{7}\cdot (\ln(3))^{2}={\frac {3^{4}\cdot (\ln(3))^{2}}{2}}=48{,}88\dots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e127c2f40cf04b410febcb9947ee5e26534ca8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:63.382ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left|E^{(6)}(f)\right|\leq {\frac {2}{12}}\cdot \left({\frac {1}{3}}\right)^{2}\cdot 3^{7}\cdot (\ln(3))^{2}={\frac {3^{4}\cdot (\ln(3))^{2}}{2}}=48{,}88\dots }" loading="lazy">,</dd></dl>

die erwartungsgemäß einen größeren Wert ergibt als den exakten Wert

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{(6)}(f)={\frac {728}{9}}\cdot {\frac {1-\ln(3)}{\ln(3)}}=-7{,}26\dots .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d81780202146fd27e797c7060c83d72c974287b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:39.252ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle E^{(6)}(f)={\frac {728}{9}}\cdot {\frac {1-\ln(3)}{\ln(3)}}=-7{,}26\dots .}" loading="lazy"></dd></dl>

Analog erhält man die Fehlerabschätzung

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

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</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|E^{(12)}(f)\right|\leq {\frac {2}{12}}\cdot \left({\frac {1}{6}}\right)^{2}\cdot 3^{7}\cdot (\ln(3))^{2}={\frac {3^{4}\cdot (\ln(3))^{2}}{8}}=12{,}22\dots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/44edd8c36f31b4cd4df41785ea0dd5f96fe00a88.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:64.204ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left|E^{(12)}(f)\right|\leq {\frac {2}{12}}\cdot \left({\frac {1}{6}}\right)^{2}\cdot 3^{7}\cdot (\ln(3))^{2}={\frac {3^{4}\cdot (\ln(3))^{2}}{8}}=12{,}22\dots }" loading="lazy">,</dd></dl>

die erwartungsgemäß einen größeren Wert ergibt als den exakten Wert

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{(12)}(f)={\frac {182}{9\ln(3)}}\cdot (4-2\ln(3)-\ln(3){\sqrt {3}})=-1{,}842\dots .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f94c4a7c98554eda132d97198ac5cbd57a45cd8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:57.582ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle E^{(12)}(f)={\frac {182}{9\ln(3)}}\cdot (4-2\ln(3)-\ln(3){\sqrt {3}})=-1{,}842\dots .}" loading="lazy"></dd></dl>

Es gilt

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|E^{(12)}(f)\right|=1,842\dots \approx {\frac {\left|E^{(6)}(f)\right|}{4}}={\frac {7{,}26\dots }{4}}=1{,}815\dots .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48d826d17702ecf53f818538c93d0948f28ba6fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:57.386ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \left|E^{(12)}(f)\right|=1,842\dots \approx {\frac {\left|E^{(6)}(f)\right|}{4}}={\frac {7{,}26\dots }{4}}=1{,}815\dots .}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Fehlerschätzung">Fehlerschätzung</h4></div>

Rechnet man die Sehnentrapezformel zweimal mit 2 verschiedenen Anzahlen von Intervallen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\neq m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\neq m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3994a24401e2dfabca26e4f36e53097a07a57af5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.534ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle n\neq m}" loading="lazy">, so erhält man folgende Fehlerschätzung:

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{(n)}(f)\approx {\frac {m^{2}}{m^{2}-n^{2}}}\left(T^{(m)}(f)-T^{(n)}(f)\right).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6cd5f75cd269add03ad3d8a8c68238347016c858.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:41.803ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle E^{(n)}(f)\approx {\frac {m^{2}}{m^{2}-n^{2}}}\left(T^{(m)}(f)-T^{(n)}(f)\right).}" loading="lazy"></dd></dl>

Speziell bei der Verdoppelung der Intervalle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m=2n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m=2n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3406330fab673cb333b4e3deeb27dca3bce74ad1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.696ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m=2n}" loading="lazy"> (Halbierung der Schrittweite) erhält man die Fehlerschätzung:

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{(n)}(f)\approx {\frac {4}{3}}\left(T^{(2n)}(f)-T^{(n)}(f)\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f01e939531ec9ea973e4a59561d2701885a6b620.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:33.913ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle E^{(n)}(f)\approx {\frac {4}{3}}\left(T^{(2n)}(f)-T^{(n)}(f)\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

Angewandt auf das obige Beispiel erhält man

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}E^{(6)}(f)=-7{,}26\dots &\approx {\frac {4}{3}}\left(T^{(12)}(f)-T^{(6)}(f)\right)\\&={\frac {4}{3}}\left({\frac {728+364{\sqrt {3}}}{18}}-{\frac {728}{9}}\right)={\frac {2}{27}}(364{\sqrt {3}}-728)=-7{,}2247\dots .\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b5d9eb86eb47b9532d5728de5ceef5b761a38a76.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.338ex; width:86.429ex; height:11.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}E^{(6)}(f)=-7{,}26\dots &\approx {\frac {4}{3}}\left(T^{(12)}(f)-T^{(6)}(f)\right)\\&={\frac {4}{3}}\left({\frac {728+364{\sqrt {3}}}{18}}-{\frac {728}{9}}\right)={\frac {2}{27}}(364{\sqrt {3}}-728)=-7{,}2247\dots .\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Asymptotische_Fehlerentwicklung">Asymptotische Fehlerentwicklung</h4></div>

Wir bestimmen im Folgenden die Art des Fehlers der Trapezsumme <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> und im Speziellen ihre Abhängigkeit von der Schrittweite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy">, wobei das Integral <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75c980562004d96eee429ecea3062e59076825a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:11.216ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}" loading="lazy"> bestimmt werden soll.

Seien dazu

<ul><li>die Schrittweite: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3dff4b0da2b411dc07970e9a4264a142c1b239c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.341ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d059936e77a2d707e9ee0a1d9575a1d693ce5d0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }" loading="lazy"></li>

<li>Trapezsumme ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy">-abhängig: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T=T_{n}(h)={\frac {h}{2}}\left(f(a)+f(b)+2\sum _{i=1}^{n-1}f(a+ih)\right)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=T_{n}(h)={\frac {h}{2}}\left(f(a)+f(b)+2\sum _{i=1}^{n-1}f(a+ih)\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/624fc571ee0065259f517e4c7b3dddc5bbfb0e6d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:48.476ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle T=T_{n}(h)={\frac {h}{2}}\left(f(a)+f(b)+2\sum _{i=1}^{n-1}f(a+ih)\right)}" loading="lazy"></li>

<li>der Integrand ist <a href="Differenzierbarkeit#Stetige_Differenzierbarkeit_und_höhere_Ableitungen" title="Differenzierbarkeit">stetig-differenzierbar</a>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\in C^{2m+1}([a,b])}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\in C^{2m+1}([a,b])}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb2094e0cf0c87dd77d2c4a472ab6327072877d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.879ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f\in C^{2m+1}([a,b])}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\in \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42411e85d874a733209223302bbd8d5e3ad04cb0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.559ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m\in \mathbb {N} }" loading="lazy">.</li></ul>

Dann gilt das folgende Fehlerverhalten für die Trapezsumme<a href="#cite_note-3">[3]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{n}(h)=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\sum _{k=1}^{m}\tau _{2k}h^{2k}+R_{2m+2}(h)h^{2m+2}\,,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2c50907224ec70150742edd258dc2bdccba7e1f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:52.118ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle T_{n}(h)=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\sum _{k=1}^{m}\tau _{2k}h^{2k}+R_{2m+2}(h)h^{2m+2}\,,}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei die folgenden Definitionen gelten

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau _{2k}={\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right)\,,\quad R_{2m+2}(h)=-\int _{a}^{b}K_{2m+2}(t,h)f^{(2m)}(t)\,\mathrm {d} t\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d00ebcd3defa6d3a66da9106179fc7062835324.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:82.377ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \tau _{2k}={\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right)\,,\quad R_{2m+2}(h)=-\int _{a}^{b}K_{2m+2}(t,h)f^{(2m)}(t)\,\mathrm {d} t\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

Weiterhin sind die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B_{2k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B_{2k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d01575253488226c50dd432a9a4c1992f2990159.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.675ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle B_{2k}}" loading="lazy"> durch die <a href="Bernoulli-Zahl" title="Bernoulli-Zahl">Bernoulli-Zahlen</a> gegeben und der <a href="Koeffizient" title="Koeffizient">Koeffizient</a> des Resttermes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"> kann gleichmäßig in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists C_{2m+2}\geq 0\;\forall h={\frac {b-a}{n}}\,:\quad |R_{2m+2}(h)|\leq C_{2m+2}\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f83a424910caa14306381aa73ec24bafd04699a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:49.934ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \exists C_{2m+2}\geq 0\;\forall h={\frac {b-a}{n}}\,:\quad |R_{2m+2}(h)|\leq C_{2m+2}\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Tangententrapezformel_oder_Mittelpunktsregel">Tangententrapezformel oder Mittelpunktsregel</h2></div>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=M(f)+E(f).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7b655d698f78f40cb8f9cb1ad715a6990a962f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:35.853ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle J(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=M(f)+E(f).}" loading="lazy"></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}" loading="lazy"> (dem Intervall auf der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,f(a)]}</annotation>

</semantics>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [b,f(b)]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da26a859be5cc797499c0a337333ee7221bb463f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.411ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [b,f(b)]}" loading="lazy"> sowie der Tangente an <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}" loading="lazy"> in der Mitte des Intervalls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}" loading="lazy">. Diese Tangente ersetzt die Kurve <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x),x\in [a,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x),x\in [a,b]}</annotation>

</semantics>

Die Tangententrapezformel ergibt sich aus dem Flächeninhalt des beschriebenen Trapezes:

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(f)=(b-a)\ f\left({\frac {a+b}{2}}\right).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3bffd924be512f9b3e0ff16e45372c90a7430d60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:28.111ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle M(f)=(b-a)\ f\left({\frac {a+b}{2}}\right).}" loading="lazy"></dd></dl>

Diese Formel – und auch die folgenden – kann man herleiten aus der „Allgemeinen Quadraturformel für eine Teilfläche“.

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}" loading="lazy">, dann gilt für das Restglied <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(f)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(f)}</annotation>

</semantics>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|E(f)\right|\leq {\frac {(b-a)^{3}}{24}}\max _{a\leq x\leq b}{\left|f''(x)\right|}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/468336ac53ee2f9096e27819cc145c743a46c717.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:31.407ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \left|E(f)\right|\leq {\frac {(b-a)^{3}}{24}}\max _{a\leq x\leq b}{\left|f''(x)\right|}.}" loading="lazy"></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> zusätzlich noch reellwertig, dann gilt mit einer Zwischenstelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta \in [a,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta \in [a,b]}</annotation>

</semantics>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(f)={\frac {(b-a)^{3}}{24}}\cdot f''(\zeta ).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fef8d34aa4796a2f625c356512279af6cf19b810.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:24.417ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle E(f)={\frac {(b-a)^{3}}{24}}\cdot f''(\zeta ).}" loading="lazy"></dd></dl>

Das Vorzeichen in dieser Formel kann man sich wie folgt geometrisch plausibel machen:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}" loading="lazy">, wie in der obigen Abbildung des Tangententrapezes, <a href="Konvexe_und_konkave_Funktionen" title="Konvexe und konkave Funktionen">streng konkav</a> ist, gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f''(x)<0}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x)<0}</annotation>

</semantics>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in [a,b]}</annotation>

</semantics>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta \in [a,b]}</annotation>

</semantics>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(f)=J(f)-M(f)<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1565d78726abeae040e77b8754ef2d868c1b1422.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.153ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E(f)=J(f)-M(f)<0}" loading="lazy">, d. h. die gesuchte Fläche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J(f)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J(f)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d51e47d428e64ccf55397b2bcdd01decd659c695.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.559ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle J(f)}" loading="lazy"> ist kleiner als die Trapezfläche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M(f)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(f)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51067106dc4a045318dac1fb27a321acfc4d2753.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.53ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M(f)}" loading="lazy">, wie auch die Abbildung zeigt.

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation>

</semantics>

Dreht man im obenstehenden Bild der Tangententrapezregel die Tangente im Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (c,f(c))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (c,f(c))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2504a7999581fca339fa102a4f7fdecfb54253c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.945ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (c,f(c))}" loading="lazy"> im Uhrzeigersinn bis man eine horizontale Gerade erhält, so entsteht ein Rechteck mit der gleichen Fläche. Die so erhaltene Regel (<a href="Mittelpunktsregel" title="Mittelpunktsregel">Mittelpunktsregel</a>) ist somit eine andere geometrische Deutung der gleichen Quadraturformel.

Angewandt auf obiges Beispiel:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(f)=(2-0)\cdot f(1)=18.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb31dd2fe5ba0cdd67669a706c1c30501e963ad6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.603ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M(f)=(2-0)\cdot f(1)=18.}" loading="lazy"></dd></dl>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x)=3^{3x+1}\cdot \ln(3)^{2}>0}</annotation>

</semantics>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J(f)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d51e47d428e64ccf55397b2bcdd01decd659c695.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.559ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle J(f)}" loading="lazy"> größer ist als die Trapezfläche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M(f)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(f)}</annotation>

</semantics>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zusammengesetzte_Tangententrapezformel_oder_Mittelpunktsregel">Zusammengesetzte Tangententrapezformel oder Mittelpunktsregel</h3></div>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=M^{(n)}(f)+E^{(n)}(f).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f141c70188002a0a0e54bf93395a2c796d746a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:40.923ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle J(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=M^{(n)}(f)+E^{(n)}(f).}" loading="lazy"></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h={\tfrac {b-a}{n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bcfd2767a84c86fff60f1d0e8837839a10b32bd9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.127ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle h={\tfrac {b-a}{n}}}" loading="lazy">. In jedem Teilintervall wendet man die Tangententrapezformel für die einzelnen Teilflächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Damit erhält man die summierte (bzw. zusammengesetzte) Tangententrapezformel:

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M^{(n)}(f)=h\cdot \sum _{i=1}^{n}f\left(a\ -{\frac {h}{2}}+i\cdot h\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/591116f30cd9e38c59ab0771106308cbebcb8f58.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:36.517ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle M^{(n)}(f)=h\cdot \sum _{i=1}^{n}f\left(a\ -{\frac {h}{2}}+i\cdot h\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

mit

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h={\frac {(b-a)}{n}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8550589ba3177b0ee12337fdd03053a2c6fdd31.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.797ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle h={\frac {(b-a)}{n}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Angewandt auf obiges Beispiel:

Sei die Schrittweite   <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h={\tfrac {1}{3}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h={\tfrac {1}{3}}}</annotation>

</semantics>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=6}</annotation>

</semantics>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M^{(6)}(f)={\frac {1}{3}}\cdot \left(f\left({\frac {1}{6}}\right)+f\left({\frac {3}{6}}\right)+f\left({\frac {5}{6}}\right)+f\left({\frac {7}{6}}\right)+f\left({\frac {9}{6}}\right)+f\left({\frac {11}{6}}\right)\right)={\frac {364{\sqrt {3}}}{9}}=70{,}05183266\dots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39673795b0a01fef0e88a0452bc7ed10be96f0e9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:104.995ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle M^{(6)}(f)={\frac {1}{3}}\cdot \left(f\left({\frac {1}{6}}\right)+f\left({\frac {3}{6}}\right)+f\left({\frac {5}{6}}\right)+f\left({\frac {7}{6}}\right)+f\left({\frac {9}{6}}\right)+f\left({\frac {11}{6}}\right)\right)={\frac {364{\sqrt {3}}}{9}}=70{,}05183266\dots }" loading="lazy"></dd></dl>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h={\tfrac {1}{6}}}</annotation>

</semantics>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=12}</annotation>

</semantics>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}M^{(12)}(f)&={\frac {1}{6}}\cdot \left(f\left({\frac {1}{12}}\right)+f\left({\frac {3}{12}}\right)+f\left({\frac {5}{12}}\right)+\dots +f\left({\frac {21}{12}}\right)+f\left({\frac {23}{12}}\right)\right)\\&={\frac {3^{6}-1}{2\cdot 3^{\frac {7}{4}}({\sqrt {3}}-1)}}=72{,}71063941368\dots .\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/871465295d2d2e5d74c876c9e276a1c292760ec2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.338ex; width:77.856ex; height:13.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}M^{(12)}(f)&={\frac {1}{6}}\cdot \left(f\left({\frac {1}{12}}\right)+f\left({\frac {3}{12}}\right)+f\left({\frac {5}{12}}\right)+\dots +f\left({\frac {21}{12}}\right)+f\left({\frac {23}{12}}\right)\right)\\&={\frac {3^{6}-1}{2\cdot 3^{\frac {7}{4}}({\sqrt {3}}-1)}}=72{,}71063941368\dots .\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Im Gegensatz zur Sehnentrapezregel kann bei der Tangententrapezregel bei Verdoppelung der Anzahl der Intervalle auf die vorangegangene Rechnung nicht zurückgegriffen werden.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Fehlerabschätzung_2">Fehlerabschätzung</h4></div>

Die Fehlerabschätzung für das Restglied lautet:

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|E^{(n)}(f)\right|\leq {(b-a) \over 24}\ h^{2}\max _{a\leq x\leq b}{\left|f''(x)\right|}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9fae59d4587b0139361f13a171df9a23c94841b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:35.196ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left|E^{(n)}(f)\right|\leq {(b-a) \over 24}\ h^{2}\max _{a\leq x\leq b}{\left|f''(x)\right|}}" loading="lazy"></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta \in [a,b]}</annotation>

</semantics>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{(n)}(f)={(b-a) \over 24}\cdot h^{2}\cdot f''(\zeta ).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0e05eee7c106d4ba8aae0788b6ba7d88e4ad4997.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:29.952ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle E^{(n)}(f)={(b-a) \over 24}\cdot h^{2}\cdot f''(\zeta ).}" loading="lazy"></dd></dl>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ee96b2a49abab22ea200cc66ab956379d0c4773.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.393ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle h^{2}}" loading="lazy"> in obiger Formel bedeutet, dass bei einer Halbierung der Schrittweite (Verdoppelung der Intervalle), der Fehler in etwa um den Faktor 4 kleiner wird, wie auch nachfolgendes Beispiel zeigt:

Angewandt auf obiges Beispiel:

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f''(x)=3^{3x+1}\cdot \ln(3)^{2}}</annotation>

</semantics>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \max _{0\leq x\leq 2}\left|f''(x)\right|=3^{3\cdot 2+1}\cdot \ln(3)^{2}=3^{7}\cdot (\ln(3))^{2}}</annotation>

</semantics>

und somit die Fehlerabschätzung

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|E^{(6)}(f)\right|\leq {\frac {2}{24}}\cdot \left({\frac {1}{3}}\right)^{2}\cdot 3^{7}\cdot (\ln(3))^{2}={\frac {3^{4}\cdot (\ln(3))^{2}}{4}}=24{,}44\dots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a99a2c1dcf06e6f454d9af339b03e2ddb5fbe5ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:63.382ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left|E^{(6)}(f)\right|\leq {\frac {2}{24}}\cdot \left({\frac {1}{3}}\right)^{2}\cdot 3^{7}\cdot (\ln(3))^{2}={\frac {3^{4}\cdot (\ln(3))^{2}}{4}}=24{,}44\dots }" loading="lazy">,</dd></dl>

die erwartungsgemäß einen größeren Wert ergibt als den exakten Wert

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{(6)}(f)={\frac {364}{9}}\cdot {\frac {2-\ln(3){\sqrt {3}}}{\ln(3)}}=3{,}5764\dots .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6809acdf1f3fd050e9b05625f1b4df82bc3fe778.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:42.867ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle E^{(6)}(f)={\frac {364}{9}}\cdot {\frac {2-\ln(3){\sqrt {3}}}{\ln(3)}}=3{,}5764\dots .}" loading="lazy"></dd></dl>

Analog erhält man als Fehlerabschätzung

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|E^{(12)}(f)\right|\leq {\frac {2}{24}}\cdot \left({\frac {1}{6}}\right)^{2}\cdot 3^{7}\cdot (\ln(3))^{2}={\frac {3^{4}\cdot (\ln(3))^{2}}{16}}=6{,}11\dots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4737bd8ac0ccfe7ca9e0395409fb4b77edb70701.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:63.041ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left|E^{(12)}(f)\right|\leq {\frac {2}{24}}\cdot \left({\frac {1}{6}}\right)^{2}\cdot 3^{7}\cdot (\ln(3))^{2}={\frac {3^{4}\cdot (\ln(3))^{2}}{16}}=6{,}11\dots }" loading="lazy">,</dd></dl>

die erwartungsgemäß einen größeren Wert ergibt als den exakten Wert

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{(12)}(f)=0{,}9176\dots .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27094439552f6517b41d41e9c8fc5253994fe57e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.739ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle E^{(12)}(f)=0{,}9176\dots .}" loading="lazy"></dd></dl>

Es gilt

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|E^{(12)}(f)\right|=0{,}9176\dots \approx {\frac {\left|E^{(6)}(f)\right|}{4}}={\frac {3{,}5764\dots }{4}}=0{,}8941\dots .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0fdfb77d30effc1be8debab98e12a246df1176d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:61.648ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \left|E^{(12)}(f)\right|=0{,}9176\dots \approx {\frac {\left|E^{(6)}(f)\right|}{4}}={\frac {3{,}5764\dots }{4}}=0{,}8941\dots .}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Fehlerschätzung_2">Fehlerschätzung</h4></div>

Rechnet man die Tangententrapezformel zweimal mit zwei verschiedenen Anzahlen von Intervallen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\neq m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\neq m}</annotation>

</semantics>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{(n)}(f)\approx {\frac {m^{2}}{m^{2}-n^{2}}}\left(M^{(m)}(f)-M^{(n)}(f)\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92447227beef065224819af33883791881d7e60f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:42.327ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle E^{(n)}(f)\approx {\frac {m^{2}}{m^{2}-n^{2}}}\left(M^{(m)}(f)-M^{(n)}(f)\right)}" loading="lazy">.</dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m=2n}</annotation>

</semantics>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{(n)}(f)\approx {\frac {2^{2}}{2^{2}-1}}\left(M^{(2n)}(f)-M^{(n)}(f)\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/809b1e2ba816ef19e6341441687642fe96ececb5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:40.528ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle E^{(n)}(f)\approx {\frac {2^{2}}{2^{2}-1}}\left(M^{(2n)}(f)-M^{(n)}(f)\right)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Angewandt auf das obige Beispiel erhält man

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{(6)}(f)=3{,}5764\dotso \approx {\frac {2^{2}}{2^{2}-1}}\left(M^{(12)}(f)-M^{(6)}(f)\right)=3{,}545\dotso }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d8c24742a3658de439f82036ebf770c1f920e2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:64.208ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle E^{(6)}(f)=3{,}5764\dotso \approx {\frac {2^{2}}{2^{2}-1}}\left(M^{(12)}(f)-M^{(6)}(f)\right)=3{,}545\dotso }" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vergleich_von_Sehnentrapezformel_und_Tangententrapezformel_hinsichtlich_der_Güte_der_Näherung">Vergleich von Sehnentrapezformel und Tangententrapezformel hinsichtlich der Güte der Näherung</h2></div>

Für <a href="Konkave_Funktion" class="mw-redirect" title="Konkave Funktion">konkave Funktionen</a> liefert die Tangententrapezformel eine bessere Näherung als die Sehnentrapezformel.

Grafisch veranschaulicht bedeutet dies, dass die nicht ausgeschöpfte gelbe Fläche oberhalb des Funktionsgraphen bei der Tangententrapezformel kleiner ist als die nicht ausgeschöpfte gelbe Fläche unterhalb des Funktionsgraphen bei der Sehnentrapezformel.<a href="#cite_note-4">[4]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zusammenhang_mit_anderen_Formeln">Zusammenhang mit anderen Formeln</h2></div>

Wie man an obigen Beispielen sieht, gilt

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

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</mrow>

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</mrow>

<mrow>

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</mrow>

</mrow>

<mrow>

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</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

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</mrow>

<mrow>

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</mrow>

</mrow>

<mrow>

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</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}T^{(12)}(f)&={\frac {T^{(6)}(f)}{2}}+{\frac {1}{6}}\cdot \left(f\left({\frac {1}{6}}\right)+f\left({\frac {3}{6}}\right)+f\left({\frac {5}{6}}\right)+f\left({\frac {7}{6}}\right)+f\left({\frac {9}{6}}\right)+f\left({\frac {11}{6}}\right)\right)\\&={\frac {T^{(6)}(f)+M^{(6)}(f)}{2}}.\\\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/78056dfde43738ec79c8ac53695399b7a4be9641.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.838ex; width:87.607ex; height:12.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}T^{(12)}(f)&={\frac {T^{(6)}(f)}{2}}+{\frac {1}{6}}\cdot \left(f\left({\frac {1}{6}}\right)+f\left({\frac {3}{6}}\right)+f\left({\frac {5}{6}}\right)+f\left({\frac {7}{6}}\right)+f\left({\frac {9}{6}}\right)+f\left({\frac {11}{6}}\right)\right)\\&={\frac {T^{(6)}(f)+M^{(6)}(f)}{2}}.\\\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die allgemeine Formel lautet:

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

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</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

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</mrow>

</munderover>

<mrow>

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</mfrac>

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</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{(2n)}(f)={\frac {T^{(n)}(f)}{2}}+{\frac {h}{2}}\cdot \sum _{i=1}^{n}f\left(a\ -{\frac {h}{2}}+i\cdot h\right)={\frac {T^{(n)}(f)+M^{(n)}(f)}{2}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/866f0fa27e48b2b92dac73417cfa9ec56996cfde.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:71.19ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle T^{(2n)}(f)={\frac {T^{(n)}(f)}{2}}+{\frac {h}{2}}\cdot \sum _{i=1}^{n}f\left(a\ -{\frac {h}{2}}+i\cdot h\right)={\frac {T^{(n)}(f)+M^{(n)}(f)}{2}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Für die Fehlerschätzung der Sehnentrapezregel erhält man somit

<msup>

</mrow>

</msup>

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</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

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</msup>

</mrow>

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</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{(n)}(f)\approx {\frac {4}{3}}\left(T^{(2n)}(f)-T^{(n)}(f)\right)={\frac {4}{3}}\left({\frac {T^{(n)}(f)+M^{(n)}(f)}{2}}-T^{(n)}(f)\right)={\frac {2}{3}}\left(M^{(n)}(f)-T^{(n)}(f)\right).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2535768a4adc8f0c251a06d5884081e4c27006d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:99.815ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle E^{(n)}(f)\approx {\frac {4}{3}}\left(T^{(2n)}(f)-T^{(n)}(f)\right)={\frac {4}{3}}\left({\frac {T^{(n)}(f)+M^{(n)}(f)}{2}}-T^{(n)}(f)\right)={\frac {2}{3}}\left(M^{(n)}(f)-T^{(n)}(f)\right).}" loading="lazy"></dd></dl>

Addiert man zum Näherungswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T^{(n)}(f)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{(n)}(f)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b352314da056fca85ac4a846513c0fa6128ec942.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.306ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle T^{(n)}(f)}" loading="lazy"> die Fehlerschätzung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E^{(n)}(f)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{(n)}(f)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e188fc5e92da2e51f4c71e520eb08d1051814873.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.38ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle E^{(n)}(f)}" loading="lazy">, so erhält man die beiden besseren äquivalenten Formeln:

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{(n)}(f)+{\frac {2}{3}}\left(M^{(n)}(f)-T^{(n)}(f)\right)={\frac {1}{3}}\left(T^{(n)}(f)+2M^{(n)}(f)\right).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7812a3d723c433d0a56c3a64ab8924266c9b6c37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:62.225ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle T^{(n)}(f)+{\frac {2}{3}}\left(M^{(n)}(f)-T^{(n)}(f)\right)={\frac {1}{3}}\left(T^{(n)}(f)+2M^{(n)}(f)\right).}" loading="lazy"> Das ist die Formel von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S^{(n)}(f)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S^{(n)}(f)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/64f8f9022f0a0815bc93d93355ffb58c27f30336.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.107ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle S^{(n)}(f)}" loading="lazy"> der <a href="Simpsonregel" title="Simpsonregel">Simpsonregel</a>. Somit erhält man eine Formel vom Genauigkeitsgrad 3, die Polynome bis zum Grad 3 exakt integriert. Diese liefert i. A. bessere Resultate als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T^{(n)}(f)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{(n)}(f)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b352314da056fca85ac4a846513c0fa6128ec942.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.306ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle T^{(n)}(f)}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M^{(n)}(f)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M^{(n)}(f)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/709e5c6cb56eada6c5d79c3a4a9962d601e0b809.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.084ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle M^{(n)}(f)}" loading="lazy">.</li>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{(n)}(f)+{\frac {4}{3}}\left(T^{(2n)}(f)-T^{(n)}(f)\right)={\frac {4\cdot T^{(2n)}(f)-T^{(n)}(f)}{3}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17398a1d0851355b45c205fb9fc129228a78f046.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:59.278ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle T^{(n)}(f)+{\frac {4}{3}}\left(T^{(2n)}(f)-T^{(n)}(f)\right)={\frac {4\cdot T^{(2n)}(f)-T^{(n)}(f)}{3}}.}" loading="lazy"> Das ist die Formel für die 2. Spalte des Rechenschemas der <a href="Romberg-Integration" title="Romberg-Integration">Romberg-Integration</a> bei Verwendung der Romberg-Folge. Somit ist die 2. Spalte des Rombergschemas die Simpsonregel mit dem Genauigkeitsgrad 3.</li></ol>

Angewandt auf obiges Beispiel erhält man mit

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S^{(6)}(f)={\frac {1}{3}}\left(T^{(6)}(f)+2M^{(6)}(f)\right)={\frac {4\cdot T^{(12)}(f)-T^{(6)}(f)}{3}}={\frac {728\cdot ({\sqrt {3}}+1)}{27}}=73{,}66418473741264\dots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bdeae211886cb4112f420bb74863377c492bb714.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:102.455ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle S^{(6)}(f)={\frac {1}{3}}\left(T^{(6)}(f)+2M^{(6)}(f)\right)={\frac {4\cdot T^{(12)}(f)-T^{(6)}(f)}{3}}={\frac {728\cdot ({\sqrt {3}}+1)}{27}}=73{,}66418473741264\dots }" loading="lazy"></dd></dl>

eine bessere Näherung für das exakte Integral <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J(f)=\int _{0}^{2}3^{3x-1}\,\mathrm {d} x=73{,}6282396649\dots }">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J(f)=\int _{0}^{2}3^{3x-1}\,\mathrm {d} x=73{,}6282396649\dots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec9cd88e8f14dcc52b4f45ebf639a2cb610d0782.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:40.635ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle J(f)=\int _{0}^{2}3^{3x-1}\,\mathrm {d} x=73{,}6282396649\dots }" loading="lazy">

als mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T^{(6)}(f)=80{,}{\bar {8}},T^{(12)}(f)=75{,}4703608...}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{(6)}(f)=80{,}{\bar {8}},T^{(12)}(f)=75{,}4703608...}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac8c94ac72e44165fd43c1b60419fcbb58671971.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.519ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle T^{(6)}(f)=80{,}{\bar {8}},T^{(12)}(f)=75{,}4703608...}" loading="lazy">, oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M^{(6)}(f)=70{,}05183266\dots ,}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M^{(6)}(f)=70{,}05183266\dots ,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe8f8466f9abe14615751c77a2619ac60322a9a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.434ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle M^{(6)}(f)=70{,}05183266\dots ,}" loading="lazy">

bei gleicher Anzahl auszuwertender Funktionswerte wie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T^{(12)}(f)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{(12)}(f)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6bbd86e724fa128cc5be26ddafaf8b4ac2adc817.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.963ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle T^{(12)}(f)}" loading="lazy">, nämlich 13 Stück.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Newton-Cotes-Formeln" title="Newton-Cotes-Formeln">Newton-Cotes-Formeln</a></li>

<li><a href="Simpsonregel" title="Simpsonregel">Simpsonregel</a> (Keplersche Fassregel)</li>

<li><a href="Romberg-Integration" title="Romberg-Integration">Romberg-Integration</a></li>

<li><a href="Trapez-Methode" title="Trapez-Methode">Trapez-Methode</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Josef Stoer: Numerische Mathematik. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21395-3.</li>

<li>Martin Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens. Teubner, Stuttgart 2002, ISBN 3-519-00356-2, S. 317 ff.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, <a href="Springer_Spektrum" title="Springer Spektrum">Springer Spektrum</a>, Springer-Verlag <a href="Berlin" title="Berlin">Berlin</a> <a href="Heidelberg" title="Heidelberg">Heidelberg</a> 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 169

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <a href="Mathematics_Magazine" title="Mathematics Magazine">Mathematics Magazine</a>, vol. 68, no. 3 (June 1995), S. 192

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Peter Deuflhard; Folkmar Bornemann: <cite style="font-style:italic">Numerische Mathematik / 1. Eine algorithmisch orientierte Einführung.</cite> 4., überarb. und erw. Auflage. Band 1. de Gruyter, Berlin, ISBN 3-11-020354-5, S. 313.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Trapezregel&rft.au=Peter+Deuflhard%3B+Folkmar+Bornemann&rft.btitle=Numerische+Mathematik+%2F+1.+Eine+algorithmisch+orientierte+Einf%C3%BChrung.&rft.edition=4.%2C+%C3%BCberarb.+und+erw.+Aufl.&rft.genre=book&rft.isbn=3110203545&rft.pages=313&rft.place=Berlin&rft.pub=de+Gruyter&rft.volume=1" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 170

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-12-31" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Trapezregel&oldid=262893615">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>